Производная функции

4. Производная у′=-sin x, а в данной точке у′(π/4)=-√2/2. Пусть даны функции f(x) и g(x), производные которых нам известны. Записываем как cos(x)+exp(sin(x)+x^3). Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Если необходимо найти производные функции нескольких переменных z = f(x,y), то можно воспользоваться данным онлайн-калькулятором.

Производной функции y = f(x) в точке x0 называется конечный предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (см. пример). Мы уже рассмотрели понятие сложной функции. Следующий этап — нахождение производной. Легче всего понять, как находится производная сложной функции, рассматривая конкретные примеры.

Полезно запомнить, что, как только появляется степень, то внешняя функция — степенная, а внутренняя — это то, что в степень возводится. Разумеется, неплохо бы ещё иметь представление о производной вообще). О том, что такое производная, и как работать с таблицей производных — доступно рассказано в предыдущем уроке. Здесь же мы займёмся правилами дифференцирования.

Выражение «правила дифференцирования» относится к нахождению производной от арифметических операций. Здесь мы имеем разность двух элементарных функций. Уже лучше, правда?) Осталось найти производные от синуса и квадрата икса. Для этого существует таблица производных.

Ничего страшного.) Разбиваем функцию на слагаемые и ищем производную от каждого слагаемого независимо от остальных. Опять лезем в таблицу, находим там производные синуса, квадрата икса, косинуса, чистого икса и тройки. Ответ зависит исключительно от задания и пожеланий преподавателя.) Производную мы уже нашли. Обычно, если упрощение простое и очевидное, его нужно сделать. Рассмотрим следствие из правила 3, т.е. правило 4. Эта формула получается прямо из производной для умножения функций.

Теперь нужно довести дело до конца, т.е. вычислить производные от скобок. Затем последовательно брать производные от скобочек. Здесь у нас умножаются три функции. Нас спасут… скобочки!) Мы вправе превратить умножение трёх функций в произведение двух, чтобы правило 3 в дело запустить. Но уже двух, что попроще.) Можно расписать производную этих скобок отдельно.

В процессе дифференцирования слегка преобразуем исходную функцию. Кстати, преобразование исходной функции перед дифференцированием вполне возможно и, иногда, очень помогает. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f(x) = x2 + (2x + 3) · ex · sin x. Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу.

В общем, константы можно выносить за знак производной. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. У функции g(x) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется.

Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители. Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра.

У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится. Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.

Полный синтаксис смотрите ниже. Упрощение полученной производной может занять некоторое время, для сложных функций — весьма продолжительное. Если же рассматриваемый предел равен ¥ (или — ¥ ), то при условии, что функция в точке х o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х oбесконечную производную. На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

Соответственно, производная данной сложной функции есть y’=cos(2x+3)·(2x+3)’=c0s(2x+3)·2=2c0s(2x+3). Вот и всё. Достаточно производную от злой функции расписать подробно, со всеми скобочками и штрихами, по подходящему правилу. Теперь видно, что в скобках (x3· sinx)’ у нас опять произведение функций.

Смотри еще:

  • Инфантильный мужчинаИнфантильный мужчина Инфантильный мужчина не умеет признавать свои ошибки. Инфантильный мужчина не умеет строить серьезных отношений. Основная проблема таких женщин в том, что на пути им встретился […]
  • Виды желудочно-кишечных кровотеченийВиды желудочно-кишечных кровотечений 9% больных поступивших по неотложным состояниям в хирургическое отделение являются пациентами с желудочно-кишечным кровотечением. Даже при подозрении на желудочно-кишечное кровотечение […]
  • Сделать костюм бабы ягиСделать костюм бабы яги Как сделать костюм цигански своими руками? Костюм Бабы Яги не требует больших затрат времени и финансов. Как же сделать свой собственный костюм бабы яги? Наши фото-уроки и материалы […]
  • Производная сложной функцииПроизводная сложной функции 4. Производная у′=-sin x, а в данной точке у′(π/4)=-√2/2. 9. Подставив в формулу, находим у′=1/2√х. Третье правило рассматривает нахождение производной произведения двух функций у=f(x) и […]